COMPACT SPACE

Compact의 정의는 다음과 같다.

Definition
A space X is said to be compact if every open covering $\mathcal{A}$ of $X$ contains a finite subcollection that also covers.

다시 말해서 어떤 공간 $X$를 감싸는 open set들의 모임(open covering $\mathcal{A}$)이 있다면 그 중 임의로 유한개의 open set들을 뽑아서 다시 $X$를 감쌀 수 있을 때(또는 망라할 수 있을때) $X$는 compact이다.

Lemma
Let $Y$ be a subspace of $X$. Then $Y$ is compact if and only if every covering of $Y$ by sets open in $X$ contains a finite subcollection covering $Y$.

Proof
$(\iff)$
If $Y$ is compact,then there must exist a finite subcollection $\mathcal{A}^{\prime}$ of open covering $Y$,defined by $\lbrace A^{\prime}_ {i} \rbrace_{i \in I}$ ,where $I$ is a finite index set, and this set is equivalent to $ \lbrace A^{\prime}_ {i} = A_{i} \cap Y \mid A_ {i} \subseteq_{open} X \rbrace_{i \in I}$, where $\lbrace A_{i}\rbrace_{i \in I}$ is a finite subcollection of $X$.

위의 결론으로부터 $\lbrace A^{\prime}_ {i} \rbrace_{i \in I}$가 유한하다면 $\lbrace A_ {i} \rbrace_{i \in I}$도 유한함을 알 수 있다. 따라서 $Y$는 compact이며 $X$는 $Y$를 감싸는 유한한 subcollection을 가지고 있다.

Theorem
Every closed subspace of a compact space is compact.

Proof
Let $X$ be a topological space and $Y$ be a closed subspace of $X$,then there exists open covering $\mathcal{A}$ of $Y$ such that $\mathcal{A} \cup \lbrace X - Y \rbrace$ is open covering of $X$ which is compact. hence $\mathcal{A}$ is finite subcollection covering $Y$, and $Y$ is compact.

$\mathcal{A} \cup \lbrace X - Y \rbrace$는 compact인 $X$의 open covering이고 따라서 finite open covering일 수 있다. 여기서 open set인 $\lbrace X - Y \rbrace$를 제거 하더라도 supspace $Y$는 여전히 finite open covering $\mathcal{A}$로 감쌀 수 있으므로 compact이다.

Theorem
Every compact subspace of a Hausdorff space is closed.

Proof
Let $X$ be a topological space and $Y$ be a compact subspace of $X$. By hausdorff condition,there is $x_{0}$ in $X-Y$ such that neighborhood of $x_{0}$ called $U_{y_0}$ which is disjoint from a neighborhood $V_{y}$ containing $y$ in $Y$. Since Y is compact subspace we can choose finite open covering $\mathcal{V} = V_{y_{0}} \cup V_{y_{1}} \cup V_{y_{2}} … \cup V_{y_{n}}$ and $\mathcal{U} = U_{y_{0}} \cap U_{y_{1}} \cap U_{y_{1}} … \cap U_{y_{n}}$. But then for any $z$ in $\mathcal{U}$ is having open set $V_{y_{i}}$ which is disjoint from any $U_{y_{k}}$ by constrution. Hence it is closed.

증명에서는 주어진 조건에 의해,

모든 element들은 서로 중첩되지 않는 open set을 가질 수 있다.(haudorff)
$Y$는 compact이므로 임의의 finite open covering $\mathcal{V}$ 구성 할 수 있다.(compact)

$Y$의 바깥($X-Y$)에 존재하는 임의의 $x_{0}$의 open set$\ U_{y_{k}}$과 중첩하지 않는 $Y$ 안의 유한개의 $y_{i}$를 포함하는 open set $\ U_{y_{i}}$을 이용해 finite open covering $\mathcal{V}$를 구성 할 수 있다. 그리고 $\mathcal{U}$안의 어떤 원소도 $\mathcal{V}$와 충첩되는 open set을 가지고 있지 않으므로 closed임을 알 수 있다.

예를들어 $\mathcal{U}$는 항상 $x_{0}$를 포함하고 있고 $\mathcal{V}$안의 어떤 open set도 $x_{0}$를 포함하지 않으므로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$와 disjoint 따라서 closed이다. 이러한 성질을 만족하는 공간을 regular space라고도 부르고 나중에 더 자세히 포스팅.